Intervalna procena srednje vrednosti

Ako slucajna promenljiva ima normalnu raspodelu sa parametrima X:

onda slucajna promenljiva Xm, koja predstavlja aritmeticku sredinu n nezavisnih slucajnih promenljivih koje imaju istu tu raspodelu sa istim parametrima, ima normalnu raspodelu sa parametrima Xm:

. Postavlja se pitanje intervala, sa zadatom verovatnocom, u kome ce se nalaziti srednja vrednost

na osnovu vrednosti aritmeticke sredine uzorka xm (slucajna velicina) obima n.

Intervalna procena srednje vrednosti sa poznatom disperzijom

Pretpostavimo da je:

• uzorak iz osnovnog skupa sa normalnom raspodelom
  
• standardno odstupanje osnovnog skupa
  
  je poznato

Kako je normalna raspodela simetricna oko srednje vrednosti, interval cemo odrediti na osnovu uslova

gde je

verovatnoca intervala poverenja (zadata)

verovatnoca rizika, prag znacajnosti

z_a kriticna vrednost za standardizovanu normalnu promenljivu (odredjuje se)

Vrednost srafirane povrsine na prikazu funkcije gustine standardizovane normalne raspodele upravo predstavlja tu verovatnocu za nepoznato z_a

Kako odrediti vredost z_a tj. kriticnu vrednost tj koeficijent pouzdanosti? To cemo odrediti postavljajuci vrednost greske I vrste tj a. Tako je:

Sa slike se moze videti da je to ekvivalentno verovatnoci da Z uzme vrednost koja upada u srafiranu oblast. Verovatnoca da Z upadne van ovog intervala (nesrafirana oblast - dva
podintervala iste sirine a/2) je

a kako Z moze samo u jednu od dva podintervala iste sirine da upadne to verovatnocu ovog dogadjaja predstavlja zbir verovatnoca dva iskljuciva dogadjaja tj..

Iz prethodnog izraza je vervatan interval za uzoracku srednju vrednost (aritmeticku sredinu)

Odnosno, istu vrednost ima i interval poverenja u kome se nalazi srednja vrednost

na osnovu izracunate aritmeticke sredine uzorka xm obima n i prethodnog izraza je:

gde je

Usvajamo prag znacajnosti

Nivo pouzdanosti

Pomocu Mathcad funkcije koja odredjuje kvantile normalne raspodele (inverzna funkcija raspodele) odredjujemo kriticnu vrednost z_a

Na taj nacin su intervali poverenja odredjeni sa nivoom pouzdanosti g

Uzmimo, na primer, obim uzorka n

Koji je uzet iz normalne raspodele sa sledecim parametrima

X:

Formirajmo slucajan uzorak funkcijom rnorm

Standardna greska aritmeticke sredine uzorka je

Aritmeticka sredina uzorka

Usvajamo prag znacajnosti

Nivo pouzdanosti

Odredimo kritucnu vrednost - koeficijent pouzdanosti

Interval poverenja je

To znaci da ce aritmeticka sredina uzorka iz date raspodele da uzme vrednost iz tog intervala sa verovatnocom

1 - srednja vrednost u intervalu poverenja oko aritmeticke sredine
0 - van intervala

Prikazacemo to i graficki. Kako u ovom primeru imamo poznatu i srednju vrednost osnovnog skupa (uglavnom je nepoznata) mozemo prikazati veraovatan interval (oko srednje vrednosti), interval poverenja (oko aritmeticke sredine). Oni se poklapaju sa verovatnocom g tj. ako se u intervalu poverenja nalazi srednja vrednost onda se u verovatnom intervalu nalazi aritmeticka sredina uzorka.

Proracun se moze ponoviti za druge slucajne uzorke rekalkulacijom dokumenta (Math=>Calculate Worksheet). U g*100% slucajeva ce se srednja vrednost nalaziti u intervalu poverenja.

_______________________________________________________________________________

Intervalna procena srednje vrednosti sa nepoznatom disperzijom
(veliki obim uzorka)

Pretpostavimo da je:

• uzorak iz osnovnog skupa sa normalnom raspodelom
  
• standardno odstupanje osnovnog skupa
  
  je nepoznato

Ako je obim uzorka veci ili jednak 30 onda je procedura analogna uz procenu disperzije iz uzorka (uzoracka disperzija)

Uzmimo, na primer, obim uzorka

Koji je uzet iz normalne raspodele sa sledecim parametrima

X:

Formirajmo slucajan uzorak funkcijom rnorm

Aritmeticka sredina uzorka

Kako s osnovnog skupa nije poznata, procenicemo je kao uzoracko standardno odstupanje

pa je interval poverenja aritmeticke sredine u slucaju nepoznate disperzije osnovnog skupa

gde je

Usvajamo prag znacajnosti

Nivo pouzdanosti

Odredimo kriticnu vrednost - koeficijent pouzdanosti

Interval poverenja je

_______________________________________________________________________________

Intervalna procena srednje vrednosti sa nepoznatom disperzijom
(malo obim uzorka)

Pretpostavimo da je:

• uzorak iz osnovnog skupa sa normalnom raspodelom
  
• standardno odstupanje osnovnog skupa
  
  je nepoznato

Ako je obim uzorka manji od 30 onda je procedura analogna uz procenu disperzije iz uzorka (uzoracka disperzija) samo sto se umesto normalne koristi t distribucija za odredjivanje kriticnih vrednosti - koeficijenata pouzdanosti

Uzmimo, na primer, obim uzorka

Koji je uzet iz normalne raspodele sa sledecim parametrima

X:

Formirajmo slucajan uzorak funkcijom rnorm

Aritmeticka sredina uzorka

Kako s osnovnog skupa nije poznata, procenicemo je kao uzoracko standardno odstupanje

Usvajamo prag znacajnosti

Nivo pouzdanosti

Odredimo kriticnu vrednost - koeficijent pouzdanosti

Pomocu Mathcad funkcije koja odredjuje kvantile t raspodele (inverzna funkcija raspodele) odredjujemo kriticnu vrednost t_a vrednosti na osnovu odredjenog broja stepeni slobode

Interval poverenja je

_______________________________________________________________________________