Teorija verovatnoce, slucajne promenljive
Jedan od najznacajnijih pojmova u teoriji verovatnoce je slucajna promenljiva (velicina). Slucajna promenljiva "X" se definise kao ishod, rezultat statistickog eksperimenta (numericka vrednost) pri cemu promenljiva uzima datu-konkretnu vrednost "x" sa odredjenom verovatnocom "p". Osnovna podela slucajnih promenljivih je na diskretne (prekidne) i kontinualne (neprekidne)
Diskretne(prekidne) slucajne promenljive
U ovom slucaju slucajna promenljiva uzima vrednosti iz konacnog skupa vrednosti ili iz beskonacnog (prebrojivog) skupa. Primer takvih skupova su recimo skup vrednosti od 0 do n (n - ceo pozitivan broj) ili skup celih brojeva.
Zakon raspodele verovatnoca slucajne promenljive X predstavlja prikaz vrednosti promenljivih x i odgovrajucih verovatnoca p, odnosno
odnosno, verovatnoca da slucajna promenljiva X uzima vrednost x jednako je p
Zakon raspodele verovatnoca podrazumeva da su zadate sve vrednosti koja slucajna promenljiva moze da uzme sa odgovarajucim verovatnocama. Recimo:
Jasno je da je u tom slucaju suma svih verovatnoca jednaka jedinici, jer zakon raspodele podrazumeva potpun sistem dogadjaja.
Zakon verovatnoce diskretne slucajne promenljive se najcesce prikazatuje graficki u obliku poligona raspodele ili trakastog dijagrama
U Mathcad-u se moze prikazivati i u sledecim varijantama
Funkcija raspodele F se definice kao
odnosno kao verovatnoca da slucajna promenljiva uzima vrednost manju od zadate vrednosti x (cesto se definise i kao kumulativna funcija verovatnoce)
Iz prethodnog zakona raspodele cemo formirati funkciju raspodele, pri cemu moramo uzeti u obzir da je to diskontinualna funcija sa prekidom sa desne strane, odnosno u ovom slucaju je
Odnosno
Kako je funcija prekidna sa desne strane, lako se moze zakljuciti da je
odnosno za diskretnu slucajnu velicinu je
Tako je u ovom slucaju
dodate vrednosti - zbog prikaza
Funkcija raspodele (u Mathcad-u opcija grafika "step")
Zakoni raspodele i funkcije raspodele se mogu dobiti i preko odredjenih izraza. Najpoznatije diskretne slucajne promenljive i njihove funkcije su realizovane u Mathcad-u. U spisku funkcija Mathcad-a potrazite kategoriju pod imenom "Probability density". Ako pod imenom funkcije vidite da vraca P(X=k) to predstavlja zakon verovatnoce diskretne promenljive. Obratite paznju da sve funkcije pocinju slovom "d" od density.
Prikazacemo zakon raspodele Binomne raspodeljene slucajne velicine - dbinom (Konsultovati teoriju). Ovde slucajna promenljiva x predstavlja broj realizovanih dogadjaja u n pokusaja i moze uzimati vredosti u intervalu [0,n] gde je p verovatnoca realizacije. Zadacemo vrednosti:
Zakon raspodele je
Prikazimo vektore slucajbe nelicine x i odgovarajuce verovatnoce (zakon raspodele)
Sada prikazimo graficki zakon raspodele
*Komentar : proverite kako uticu p i n na zakon raspodele.
Funkcija raspodele se dobija u Mathcad-u iz kategorije "Probability Distribution". Treba primetiti da funnkcije pocinju slovom "p" od probability
Za razliku od prethodnog primera gde se funkcija raspodele definise kao
u Mathcad-u, a i vecini statistickih softverskih paketa se funkcija raspodele definise kao
Pozivamo datu funckiju
Prikazimo promenljivu i funckiju raspodele
Prikazimo funkciju raspodele graficki
Kako ona predstavlja
takodje mozemo prikazati i
dodate vrednost - zbog prikaza
prva vrednost je uvek 0 a poslednja 1
Graficki prikaz
Kontinualne(neprekidne) slucajne promenljive

U ovom slucaju slucajna promenljiva uzima vrednosti iz beskonacnog skupa vrednosti Primer takvog skupa je recimo skup realnih brojeva i kontinualna promenljiva se definise na intervalu [
].
Jedan nacin da se objasni pojam kontinualne promenljive je taj da se broj mogucih vrednosti diskontinualne drasticno poveca. na taj nacin isprekidana kriva poligona raspodele prelazi u kontinualnu krivu. Ova kriva se kod kontinualnih promenljivih naziva funkcija gustine.
Zakon raspodele je
Moze se primetiti da se vrednosti p = P(X=x) sve vise smanjuje. Tako je maksimalna vrednost verovatnoce (moda) u ovom slucaju za vrednost
Kako n tezi
pojedinacne verovatnoce teze nuli tj P(X=x)=0 , pa se za neprekidne slucajne velicine razmatra interval verovatnoce tj
P(x1<X<x2)
Binomna raspodela za veliko n, i p ne blisko 0 i ne blisko 1, se moze aproksimirati najznacajnijom kontinualnom raspodelom u teoriji verovatnoce i statistici koja se naziva Gausova ili
Normalna raspodela, N(x,m,s)
Ako znamo da je binomno raspodeljena slucajna promenljiva X uzima celobrojne vrednosti (0,1,2...n) onda je elementarna povrsina izmedju dve susedne vrednosti slucajne promenljive ime vrednost 1*p(x) tj. prakticno jednaka verovatnoci p(x) = P(X=x). Kao sto smo rekli ove verovatnoce teze nuli kako n tezi beskonacnosti. Za interval izmedju, recimo 7450 i 7550 se moze izracunati verovatnoca kao suma svih verovatnoca (elementarnih povrsina ispod krive)
=
***
Binomana raspodela za velike vrednosti n se moze aproksimirati normalnom raspodelom. Funkcija gustine normalne raspodele se moze dobiti funkcijom dnorm(x,m,s). Za aproksimaciju binomne raspodele je
parametar u normalnoj raspodeli - Srednja vrednost
parametar u normalnoj raspodeli - Standardno odstupanje
Kako se diskretna slucajna promenljiva aproksimira kontinualnom, onda se moze primeniti pravilo jedne polovine tj.
Diskretna
priblizno jednako
Tako je funkcija gustine
Interval verovatnoce kod diskretne slucajne velicine u obliku sume verovatnoca zakona raspodele prelazi u odredjeni integral funkcije gustine kod neprekidne slucajne velicine. Tako se suma *** izracunava kao odredjeni integral
=
i ima vrednost srafirane povrsine ispod krive
Kao i kod diskretne slucajne velicine, definise se funkcija raspodele F(x) = P(X<x) i za normalnu raspodelu u Mathcadu se koristi pnorm(x,m,s). Veza funkcije gustine i funkcije raspodele za neprekidnu slucajnu velicinu je, odnosno:
Za prethodni primer je, recimo
ili
Lako je zakljuciti da je za zadati interval [x1,x2]
odnosno, za prethodni primer
=
tako da
predstavlja element verovatnoce izmedju
Tako se proracuni verovatnoce za normalnu, ili neku drugu, kontinualnu raspodelu svodi na upotrebu funkcije raspodele. Za normalnu raspodelu znacajnu ulogu ima standardizovana normalna raspodela. Naime ako raspolazemo normalnom raspodelom sa parametrima m i s tj:
X :
tada transformisana slucajna promenljiva
ima takodje normalnu raspodelu sa parametrima 0,1 odnosno
Z :
i naziva se standardizovana (centrirana) normalna raspodela
Ova raspodela se koristila tabelarno i imala ulogu proracuna verovatnoca za bilo koju normalnu raspodelu. Iako u Mathcad-u imamo realizovanu funkciju pnorm(x,m,s) takodje imamo i realizovanu funkciju raspodele standardizovane normalne raspodele kao funkciju cnorm(x).
sa funkcijom gustine
=
Prikazimo grafik funkcije gustine standardizovane normalne raspodele i analognu povrsinu za posmatrani slucaj
i analogna srafirana povrsina ispod krive funkcije gustine standardizovane normalne raspodele
Cest problem je zadavanje verovatnoce a potrebno je odrediti odgovarajuce vrednosti slucajne promenljive. Za to se koriste inverzne funkcije raspodele koje odredjuju onu vrednost promenljive x za koju je zadata verovatnoca p=P(X<x). Recimo, za prethodan slucaj je potrebno odrediti za koju vrednost z je verovatnoca p=P(X<x)=0.876. Za to se korist funkcije cije ime pocinje slovom "q" i u ovom slucaju za normalnu raspodelu je to funkcija qnorm(p,m,s)
Tako je
Pocetna vrednost -4 je izabrana jer prakticno za tu vrednost funkcija gustine tezi 0 sto se moze i proveriti
i odgovarajuca srafirana povrsina cija je vrednost
________________________________________________________________________________